Решение заданий уровня С. Всего таких заданий в ЕГЭ по математике 2011 будет шесть.
С1. Задача: Решить уравнение:
Решение: Данное уравнение равносильно системе:
Из нижнего неравенства получим, что: sin x < 0. Произведем замену в верхнем уравнении и решим:
cos x = t
или
Равенствам cos x = – 1/2 и cos x = 2/3 на тригонометрической окружности соответствуют четыре точки.
Две из них, находящиеся в верхней полуплоскости, не удовлетворяют условию sin x < 0.
Получаем решения:
и
где
Ответ., ,
Вторым заданием группы C является геометрическая задача. Подобные задания традиционно являются достаточно сложными. Однако, если уделять им должное внимание, вполне решаемы. Вы должны давать как можно более грамотный с математической точки зрения ответ. Ответ должен быть полным.
Задача: Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона основания которой равна 2, диагональ боковой грани
. Найти угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
Решение: Обозначим середину ребра BC буквой H. Отрезки AH и A1H перпендикулярны BC, так как треугольник ABC – равносторонний, а A1BC – равнобедренный. Следовательно, угол A1HA – линейный угол двугранного угла с гранями BCA и BCA1.
Рассмотрим треугольник A1AB: по теореме Пифагора найдем AA1=1.
Рассмотрим треугольник AHB: по теореме Пифагора найдем AH=
.
Из треугольника HAA1 находим:
Отсюда находим: угол A1HA=30o.
Ответ. 30о.
В третьем задании группы C ЕГЭ по математике 2011 предлагается неравенство. Для того чтобы его решить, от вас потребуется умение оценивать. Вы должны давать как можно более грамотный с математической точки зрения ответ. Ответ должен быть полным.
Задача: Решить неравенство:
Решение: Преобразуем неравенство:
Найдем, при каких значениях х левая часть имеет смысл:
Получаем:
или 
Значит,
при всех допустимых значениях x. Поэтому,
Сделаем замену
. Получаем:
Таким образом,
откуда
Решив полученное квадратное уравнение, найдем корни: -6 и -1. Условию или удовлетворяет только x=-1.
Ответ. -1.
В задании C4 экзаменаторы вновь предлагают ученикам решить геометрическую задачу. Это последняя геометрическая задача в ЕГЭ по математике 2011. Вы должны давать как можно более грамотный с математической точки зрения ответ. Ответ должен быть полным.
Задача: Дан угол ABC, равный 30о. На его стороне BA взята точка D такая, что AD=2 и BD=1. Найти радиус окружности, касающейся прямой BC и проходящей через точки A, D
Решение: Центр О искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим буквой P середину AD, буквой Q – основание перпендикуляра, опущенного на прямую BC из точки O, буквой E – точку пересечения прямой BC и серединного перпендикуляра. Отрезки OA, OD, OQ равны радиусу R окружности.
Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от нее до точки A.
Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP=2 и углом B=30o находим, что
Так как OA=R и AP=1, получим:
и, следовательно,
Из прямоугольного треугольника OQE, в котором угол E=60o, находим:
Таким образом, получаем следующее уравнение для R:
Данное уравнение легко приводится к квадратному возведением в квадрат левой и правой частей и приведением подобных членов.
Решив данное уравнение, получим R1=1, R2=7.
Ответ. 1 или 7.
Рассмотрим очередное задание группы С из ЕГЭ по математике 2011. Дадим как можно более полное решение.
Задача: Найдите все значения a, при каждом из которых система имеет единственное решение.
Решение: Пусть система имеет решение (x;y). Если x не равен 0, то система имеет второе решение (-x;y). Значит, решение может быть единственным, только при x=0.
Подставим x=0 в первое уравнение: y = a – 2. Пара (0;a – 2) должна удовлетворять второму уравнению:
(a-2)2=4, откуда a=0 или a=4.
Для каждого из двух найденных значений параметра нужно проверить, действительно ли данная система имеет единственное решение.
Первый случай: a=0. Система принимает вид:
Графиком функции y=|x|-2 является угол, который имеет с окружностью x2+y2=1 три общие точки. Значит, при a=0 система имеет три решения.
Второй случай, a=2. Система принимает вид
Из первого уравнения следует, что при x, не равном нулю, y>2, а из второго уравнения при x, не равном нулю получаем, что |y|<2. Следовательно, при x, не равном нулю система решений не имеет. Значит, при a = 4 есть только одно решение x = 0, y = 2.
Ответ: a=4.
Рассмотрим последнее задание, которое предстоит решить ученикам на ЕГЭ по математике. Данная задача является, пожалуй, самой сложной из всех предложенных в КИМах. Вы должны давать как можно более грамотный с математической точки зрения ответ. Ответ должен быть полным.
Задача: Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чисел, наибольший общий делитель которых равен 1)
и 
, что если к десятичной записи числа приписать справа через запятую десятичную запись числа , то получится десятичная запись числа, равного
Решение: Пусть десятичная запись числа состоит из 
цифр. Тогда по условию задачи можно записать равенство
, поэтому 
Из этого уравнения следует, что
. Так как числа и взаимно простые, числа 
и 
тоже взаимно простые. (Действительно, пусть 
– общий простой делитель этих чисел. Тогда если делитель , то будет делителем . Если же – делитель , то будет делителем 
, значит, – делитель . Противоречие.)
Поэтому
и, следовательно, 
. Последнее равенство при взаимно простых и возможно только в двух случаях:
1)
, но в этом случае не выполняется равенство .
2)
. В этом случае равенство принимает вид
, откуда
Функция
возрастает, а функция
убывает. Поэтому уравнение
имеет не более одного корня, и так как 
, единственным корнем уравнения является 
.
Ответ.
.
Решение: Данное уравнение равносильно системе:
Из нижнего неравенства получим, что: sin x < 0. Произведем замену в верхнем уравнении и решим:
cos x = t
или
Равенствам cos x = – 1/2 и cos x = 2/3 на тригонометрической окружности соответствуют четыре точки.
Две из них, находящиеся в верхней полуплоскости, не удовлетворяют условию sin x < 0.
Получаем решения:
и
где
Ответ.
Вторым заданием группы C является геометрическая задача. Подобные задания традиционно являются достаточно сложными. Однако, если уделять им должное внимание, вполне решаемы. Вы должны давать как можно более грамотный с математической точки зрения ответ. Ответ должен быть полным.
Задача: Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона основания которой равна 2, диагональ боковой грани
Решение: Обозначим середину ребра BC буквой H. Отрезки AH и A1H перпендикулярны BC, так как треугольник ABC – равносторонний, а A1BC – равнобедренный. Следовательно, угол A1HA – линейный угол двугранного угла с гранями BCA и BCA1.
Рассмотрим треугольник A1AB: по теореме Пифагора найдем AA1=1.
Рассмотрим треугольник AHB: по теореме Пифагора найдем AH=
Из треугольника HAA1 находим:
Отсюда находим: угол A1HA=30o.
Ответ. 30о.
В третьем задании группы C ЕГЭ по математике 2011 предлагается неравенство. Для того чтобы его решить, от вас потребуется умение оценивать. Вы должны давать как можно более грамотный с математической точки зрения ответ. Ответ должен быть полным.
Задача: Решить неравенство:
Решение: Преобразуем неравенство:
Найдем, при каких значениях х левая часть имеет смысл:
Получаем:
Значит,
Сделаем замену
Таким образом,
откуда
Решив полученное квадратное уравнение, найдем корни: -6 и -1. Условию
Ответ. -1.
В задании C4 экзаменаторы вновь предлагают ученикам решить геометрическую задачу. Это последняя геометрическая задача в ЕГЭ по математике 2011. Вы должны давать как можно более грамотный с математической точки зрения ответ. Ответ должен быть полным.
Задача: Дан угол ABC, равный 30о. На его стороне BA взята точка D такая, что AD=2 и BD=1. Найти радиус окружности, касающейся прямой BC и проходящей через точки A, D
Решение: Центр О искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим буквой P середину AD, буквой Q – основание перпендикуляра, опущенного на прямую BC из точки O, буквой E – точку пересечения прямой BC и серединного перпендикуляра. Отрезки OA, OD, OQ равны радиусу R окружности.
Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от нее до точки A.
Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP=2 и углом B=30o находим, что
Так как OA=R и AP=1, получим:
и, следовательно,
Из прямоугольного треугольника OQE, в котором угол E=60o, находим:
Таким образом, получаем следующее уравнение для R:
Данное уравнение легко приводится к квадратному возведением в квадрат левой и правой частей и приведением подобных членов.
Решив данное уравнение, получим R1=1, R2=7.
Ответ. 1 или 7.
Рассмотрим очередное задание группы С из ЕГЭ по математике 2011. Дадим как можно более полное решение.
Задача: Найдите все значения a, при каждом из которых система имеет единственное решение.
Решение: Пусть система имеет решение (x;y). Если x не равен 0, то система имеет второе решение (-x;y). Значит, решение может быть единственным, только при x=0.
Подставим x=0 в первое уравнение: y = a – 2. Пара (0;a – 2) должна удовлетворять второму уравнению:
(a-2)2=4, откуда a=0 или a=4.
Для каждого из двух найденных значений параметра нужно проверить, действительно ли данная система имеет единственное решение.
Первый случай: a=0. Система принимает вид:
Графиком функции y=|x|-2 является угол, который имеет с окружностью x2+y2=1 три общие точки. Значит, при a=0 система имеет три решения.
Второй случай, a=2. Система принимает вид
Из первого уравнения следует, что при x, не равном нулю, y>2, а из второго уравнения при x, не равном нулю получаем, что |y|<2. Следовательно, при x, не равном нулю система решений не имеет. Значит, при a = 4 есть только одно решение x = 0, y = 2.
Ответ: a=4.
Рассмотрим последнее задание, которое предстоит решить ученикам на ЕГЭ по математике. Данная задача является, пожалуй, самой сложной из всех предложенных в КИМах. Вы должны давать как можно более грамотный с математической точки зрения ответ. Ответ должен быть полным.
Задача: Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чисел, наибольший общий делитель которых равен 1)
Решение: Пусть десятичная запись числа
Из этого уравнения следует, что
Поэтому
1)
2)
Функция
возрастает, а функция
убывает. Поэтому уравнение
Ответ.
