Олимпиадные задачи

Готовимся к олимпиаде!

Задача 1. Сын отца профессора разговаривает с отцом сына  профессора, причем сам профессор в разговоре не участвует. Может ли такое быть?

Решение. В этой задаче при решении основная масса решающих невольно полагает, что профессором должен быть мужчина, хотя  это ниоткуда не следует по условию задачи.Попытаемся отвлечься от навязываемого условием стереотипа. Получается ясное решение задачи.
1) Профессором является женщина, имеющая сына и мужа, есть у нее и отец.
2) У женщины-профессора может быть еще и брат (сын отца профессора).
3) Если муж профессора (отец сына профессора) разговаривает с братом жены (сыном отца профессора), то условия задачи выполняются.
Ответ: Да, такое возможно.

Задача 2. В семье четверо детей. Им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Галя, Коля, Валя и Таня. Сколько лет каждому ребенку, если известно, что одна девочка ходит в детский сад, Галя старше Коли и сумма лет Гали и Вали делится на три?

Решение. Сначала найдем возраст мальчика. Поскольку в детский сад ходит девочка, то это не Коля. Тогда Коле больше 5 лет. Так как Галя старше Коли, то Коле не может быть 15 лет. Если сумма лет Гали и Вали делится на три, то, учитывая возраст детей в семье, это возможно в следующих случаях:
1) одной девочке 5, а другой 13 лет;
2) одной девочке 8, а другой 13 лет.
В обоих случаях одной из девочек 13 лет, следовательно, Коле не может быть 13 лет. Зная, что Коле не 5, не 15 и не 13 лет,  приходим к выводу, что мальчику 8 лет.
Теперь установим возраст каждой девочки. Поскольку сумма лет Гали и Вали делится на три, а Коле 8 лет, этим двум девочкам 5 и 13 лет. А так как по условию Галя старше Коли, то Гале 13 лет. Тогда Вале должно быть 5 лет, а Тане 15 лет.

Задача 3. На велотреке одновременно уходят со старта 5 велосипедистов. Скорость первого равна 50 км/ч, второго – 40 км/ч, третьего – 30 км/ч, четвертого – 20 км/ч, пятого – 10 км/ч. Первый велосипедист считает количество велосипедистов, которых он обогнал. Какого велосипедиста он посчитал 21-м? В момент старта обгон не считается.

Решение: Пятого, у которого скорость 10 км/ч. Будем считать обгоны в тот момент, когда первый догоняет второго велосипедиста. В момент, когда первый проехал 5 икругов, второй проехал 4 круга (его скорость составляет 4/5 от скорости первого), третий – 3 круга, четвертый – 2 круга, пятый 1 круг. В этот момент все велосипедисты опять находятся в одной точке. Тогда к этому моменту первый  обогнал второго 1 раз, третьего 2 раза, четвертого – 3 раза, пятого – 4 раза, т.е. первый насчитал 10 велосипедистов, которых он обогнал. После того как первый проедет еще 5 кругов, он насчитает 10 обгонов. В этот момент все велосипедисты опять находятся в одной точке. Тогда первый обгонит и посчитает 21-м самого медленного из велосипедистов — пятого.

Задача 4. Найдите значение суммы

Решение:

Четность и нечетность

Задача 5. Можно ли разменять купюру достоинством 50 рублей с помощью 15 монет по 1 и 5 рублей?

Решение. Основываться будем на простом наблюдении: сумма  нечетного числа нечетных слагаемых есть число нечетное. Ответ: нет.
Замечание. Четность суммы нескольких чисел зависит от четности числа нечетных слагаемых: если количество нечетных слагаемых (не)четно, то и сумма — (не)четна.

Задача 6. На доске записано 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предлагается 14 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа и если они одинаковые, то дописать к  оставшимся числам нуль, а если разные, то единицу. Какое число останется на доске?

Решение. Сумма исходных чисел равна 7. Семь  — число нечетное.  Рассмотрим, какая сумма чисел будет получаться после выполнения операции. Если вычеркнем 2 нуля, то после дописывания нуля на доске будет 7 нулей и 7 единиц. Сумма этих 14 чисел будет нечетной. Если вычеркнем 2 единицы, то на доске после дописывания нуля  останется 9 нулей и 5 единиц. Сумма этих 14 чисел будет нечетной. Наконец, вычеркивая нуль и единицу и приписывая единицу, мы получаем на доске 7 нулей и 7 единиц, сумма которых снова  является нечетным числом. Таким образом, после выполнения заданной операции на доске получается на 1 число меньше, причем сумма оставшихся чисел все время остается нечетной. Поскольку 1 —  нечетное число, а 0 — четное, то на доске после выполнения 14 раз указанной операции получается число нечетное, т. е. 1.

Задача 8. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «—» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?

Решение. Обратим внимание на то, что отрицательные числа  также бывают четными и нечетными. Любые два целых числа при  сложении и умножении дают сумму и разность одинаковой четности. Сложив все 10 чисел, получим нечетное число. Произвольно  меняя «плюсы» на «минусы» в итоге получим нечетное число (не нуль!).

Задача 9. На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 2004, 2005, 2006. Разрешается с доски стереть два любых числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно оказаться нулем?

Решение. Сумма всех записанных на доске чисел будет нечетной. При стирании 2-х чисел могут быть получены варианты: а) стираются 2 четных (или нечетных) числа, модуль разности будет числом четным, а новая сумма будет числом нечетным; б) стираются четное и нечетное число, модуль разности будет нечетным числом, а новая сумма снова будет числом нечетным. Таким образом, в любом случае на доске останется нечетное  число (не нуль!).

Остатки

Определение. Разделить натуральное число N на натуральное  число m с остатком — означает представить N в виде N = km + r, где  0 ≤ r < m. При этом число r называется остатком отделения N на m.
Утверждение 1. Сумма любых двух натуральных чисел и сумма их остатков имеют одинаковые остатки при делении на натуральное n.
Утверждение 2. Произведение любых двух натуральных чисел и произведение их остатков имеют одинаковые остатки при делении на натуральное n.

Задача 10. Найдите остаток от деления 2003 • 2004 • 2005 + 2006³ на 7.

Решение. Произведем действия с остатками от деления каждого из чисел на 7:   1 • 2 • 3 + 4³. Обратим внимание на то, что 4³ = 64 = 7 • 9 + 1, тогда 6 + 1 = 7, и остаток от деления на 7 будет  равен нулю.

Задача 11. Найдите последнюю цифру числа 1989¹⁹⁸⁹.

Решение. Заметим, что последняя цифра числа 1989¹⁹⁸⁹.  совпадает с последней цифрой числа 9¹⁹⁸⁹. Выпишем последние цифры  нескольких начальных степеней числа 9: 9, 1, 9, 1, 9, 1, Ясно, что все  нечетные степени девятки оканчиваются на 9. Поэтому последняя  цифра числа 1989¹⁹⁸⁹ – девятка.
Примечание. Полезно выписать последние цифры натуральных степеней двойки, тройки, семерки. Интересно, что при этом наблюдается повторяемость цифр через каждые 4 степени (убедитесь в этом). …5ⁿ = …25; …6ⁿ = …6; и еще, найденная  закономерность …376ⁿ = …376.

Свойство. Квадрат любого натурального числа при делении на 3 и 4 будет давать в остатке 0 или единицу.
Свойство: остаток квадрата нечетного числа от деления на 4 равен 1, а остаток квадрата четного числа от деления на 4 равен – 0.
Посмотрите файлы:
еще три задачи
задачка о корнях квадратного уравнения

Задача 12. В системе Зеленой Собаки 1001 планета. На каждой из этих планет сидит астроном и смотрит в телескоп на ближайшую планету. Докажите, что если попарные расстояния между планетами различны, то найдется планета, на которую никто не смотрит.

Решение. Рассмотрим две планеты А и В, расстояние между которыми наименьшее. Астроном на планете А смотрит на планету В, а астроном на планете В смотрит на планету А. Если астроном с какой-нибудь  другой планеты смотрит на планету А или В, то найдется планета, на которую никто не смотрит. В противном случае, исключив из рассмотрения планеты А и В, получим систему из 999 планет, для которой  выполняется условие задачи. Продолжая рассуждать  аналогичным образом, мы придем к тому, что у нас останется три планеты. Выбрав из них две планеты, расстояние между  которыми наименьшее, получим, что на  оставшуюся планету никто не смотрит.

Задача 13. В каждой клетке доски 7×7 сидит жук. В какой-то момент времени все жуки взлетают, и после этого каждый из жуков садится в клетку, соседнюю по  стороне с той, из которой он взлетел. Докажите, что в  какую-то клетку не сядет ни одного жука.

Решение. Рассмотрим шахматную раскраску доски в черный и белый цвета. Тогда у нас 25 клеток  покрашено в черный цвет, а 24 — в белый. Заметим, что жук, взлетевший с белой клетки, сядет на черную клетку, а взлетевший с черной — на белую. Но с белых клеток взлетают 24 жука, и они не смогут сесть на 25 клеток.

Задача 14. Можно ли доску 10 на10 разрезать на прямоугольники 4 на 1?

Решение: Рассмотрим раскраску доски в 4 цвета (см. рис. ).  Заметим, что при такой раскраске любой прямоугольник  4 на 1 закрывает по одной клетке каждого цвета, т. е. если бы можно было разрезать нашу доску на 25 прямоугольников 4 на 1, то на доске должно было быть по 25 клеток каждого цвета, однако, клеток второго цвета 26, — противоречие. Ответ. Нельзя.